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By Daniel Guin, Thomas Hausberger

ISBN-10: 2868839746

ISBN-13: 9782868839749

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3. Soient G un groupe et S une partie de G. On appelle sousgroupe engendré par S, et on note S , le plus petit (pour la relation d’inclusion) sous-groupe de G contenant S. 11 Chapitre I. 4. C’est l’intersection de tous les sous-groupes de G qui contiennent S. 5. Soient G un groupe et S une partie non vide de G. On a S = {x1 · · · xn , n ∈ N∗ , xi ∈ S où x−1 i ∈ S, ∀i, 1 i n}. n ∈ N∗ , xi ∈ S où x−1 i n}. i ∈ S, ∀i, 1 On remarque que S est contenu dans H. Soient x = x1 . . xn et y = y1 . . yp des éléments de H, alors xy −1 = x1 .

On passe de l’un à l’autre comme suit : >convert([1,3,4,5,2],disjcyc); >convert([[1,2,3],[4,5]],permlist,5); >convert([[1,2,3],[4,5]],permlist,9); >map(g->convert(g,disjcyc),[[2,3,1,5,4],[2,3,1,5,4,6,7,8,9]]); >map(g->convert(g,disjcyc),{[2,3,1,5,4],[2,3,1,5,4,6,7,8,9]}); Noter que, dans la deuxième commande, la permutation est vue comme un élément de S5 et comme un élément de S9 dans la troisième. La commande Algèbre T1 type(g,disjcyc(n)) renvoie true si g est un élément de Sn donné comme une liste de cycles à supports disjoints et false sinon.

6. Montrer que tout élément σ ∈ Sn , σ = id, s’écrit sous la forme σ = γ1 ◦ · · · ◦ γs , s 1 où les γi sont des cycles à supports disjoints, tous différents de l’identité, et que cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs. Cette décomposition s’appelle la décomposition canonique de σ en cycles. Cette décomposition permet donc de ramener l’étude des permutations à celle des cycles. 7. Montrer que pour σ ∈ Sn , l’ordre de σ est le ppcm des ordres des cycles de sa décomposition canonique.

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Algèbre : Tome 1 : groupes, corps et théorie de Galois by Daniel Guin, Thomas Hausberger


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