New PDF release: A la recherche de la licorne, tome 3 : Finis Africae

By Emilio Ruiz, Miralles

ISBN-10: 2723423344

ISBN-13: 9782723423342

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V˙ = ∇V . v cos f, où f est l’angle fait par le vecteur gradient et le vecteur vitesse. Le signe de V˙ est donc celui de cos f. Trois cas sont à distinguer : 1) − p2 < f < p2 , dans ce cas cos f > 0 et V˙ > 0, 2) −p < f < − p2 , ou p2 < f < p dans ce cas cos f < 0 et V˙ < 0, 3) f = ±p, cos f = 0 et V˙ = 0. 22. Dans le cas (1), la trajectoire coupe la courbe de niveau de l’intérieur vers l’extérieur, elle est sortante par rapport à la courbe de niveau correspondante. Dans le cas (2), la trajectoire coupe la courbe de niveau de l’extérieur vers l’intérieur, elle est entrante.

Pour l’origine, nous avons : A (0, 0) = 1 0 0 1 . La matrice est diagonale et admet une valeur propre double positive l0 = 1. Il s’agit d’un nœud dégénéré instable appelé étoile. Pour les points d’équilibre (−1, −1) et (1, 1), il vient : A (−1, −1) = A (1, 1) = 0 −2 −2 0 . Nous avons tr A = 0 et det A = −4, ce qui implique des points selle (det A < 0). De la même manière, nous obtenons pour les deux derniers équilibres : A (−1, 1) = A (1, −1) = 0 2 2 0 . Nous avons encore tr A = 0 et det A = −4, ce qui implique à nouveau des points selle.

Exercice Faire l’étude de la nature des équilibres des systèmes différentiels sui- vants : 1) x˙ = sin x, y˙ = x − y. 2) x˙ = x − y, y˙ = y − x y. ➩ Solution 1) Les équilibres se trouvent sur la première bissectrice x ∗ = kp, y ∗ = kp, où k est un entier naturel. L’origine est point selle, puis on a une alternance de nœuds stables et de points selles. 2) Ce système admet deux équilibres, (0, 0) qui est nœud instable et (1, 1) qui est point selle. 3 ÉTUDE DES SYSTÈMES DYNAMIQUES EN TEMPS CONTINU La linéarisation d’un système permet de connaître l’allure des trajectoires au voisinage de ses équilibres.

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A la recherche de la licorne, tome 3 : Finis Africae by Emilio Ruiz, Miralles


by John
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